Современная актуарная теория риска: многомерные методы и обобщенные линейные модели

Недавно под редакцией проф. В.К.Малиновского вышел русский перевод книги Р.Кааса, М.Гувертса, Ж.Дэнэ, М.Денута «Современная актуарная теория риска» (R.Kaas, M.Goovaerts, J.Dhaene, M.Denuit «Modern Actuarial Risk Theory», Kluwer Academic Publishers, 2001, 309 p., ISBN 0-7923-7636-6).

Книга дополняет серию из четырех переводных изданий, осуществленных в 1998-2005 годах. Первая и вторая книги этой серии – переводы монографий Ж. Лемера «Автомобильное страхование: актуарные модели» и «Системы бонус-малус в автомобильном страховании», изданные в 1998 г. и переизданные в 2003 г.

Третья книга серии – монография Н.Бауэрса, Х.Гербера, Дж.Хикмана, Д.Джонса и С.Несбитт «Актуарная математика», изданная в русском переводе в 2001 г., четвертая – книга Х.Панджера, Ф.Бойля, Х.Гербера, Д.Дюфреня, С.Кокса, Х.Мюллера, Х.Педерсена, С.Плиски, К.С.Тана, М.Шерриса, Э.Шиу «Финансовая экономика с приложениями к инвестированию, страхованию и пенсионному делу», изданная в русском переводе в 2005 г.

Все эти книги являются широко известными монографиями, используемыми в качестве базовых учебных пособий при подготовке сертифицированных актуариев, причем две последние являются базовыми курсами Общества Актуариев США.

Книга Р. Кааса, М. Гувертса, Ж. Дэнэ, М. Денута «Современная актуарная теория риска» является известным учебным пособием, предназначенным для обучения актуариев в ряде европейских стран. Она используется в рамках университетских программ, прежде всего в Голландии и Бельгии, а также Европейской академией актуариев в рамках программ переподготовки.

В книге содержится как изложение основ страховой теории полезности и теории риска, являющихся фундаментальными вопросами современной подготовки актуария, так и введение в такие специальные, но практически значимые разделы, как марковский анализ систем бонус-малус, доверительная теория, обобщенные линейные модели (ОЛМ) в страховании и техника расчетов для произошедших, но не заявленных убытков. Значительный интерес представляет теория упорядочения рисков, ранее в монографической литературе не излагавшаяся. 

Книга рассчитана на актуариев, страховщиков и экономистов, интересующихся практическими приложениями теории вероятностей, и преподавателей этих дисциплин.

Мы обсудили с В.К.Малиновским несколько вопросов относительно обобщенных линейных моделей и их применении в страховой математике.

Вопрос: Обобщённые линейные модели - общепризнанный метод статистической обработки данных в страховании; стандартные линейные модели не применимы для актуарных задач. Не могли бы Вы объяснить, в чем отличие между моделями и в чем заключается преимущество ОЛМ?

В.М.: Обобщенные линейные модели и стандартные линейные модели представляют зависимую переменную в виде суммы среднего значения  и случайной величины : . Предикторы объединяются в один «линейный предиктор» .

Линейные модели подразумевают нормальность распределения зависимой переменной (переменной отклика). Среднее значение представляется линейной комбинацией предикторов , все предикторы имеют одинаковую дисперсию. Вектор ошибок  нормально распределён со средним 0 и дисперсией .

Подробное изложение основ линейных регрессионных моделей содержится в классическом руководстве Я.Р. Магнус, П.К. Катышев, А.А. Пересецкий «Эконометрика. Начальный курс».

Линейные модели имеют широкое применение в экономических и управленческих задачах. Однако в актуарных приложениях нормально распределенная случайная величина с постоянной дисперсией не может служить адекватным описанием ситуации.

Например, при моделировании количества страховых случаев переменная отклика не может быть распределена по нормальному закону, так как принимает только положительные значения. В таких задачах адекватной моделью обычно является распределение Пуассона.

Если переменная отклика не отрицательна, а среднее значение близко к нулю, то интуитивно кажется, что стандартное отклонение тоже должно быть близко к нулю. Поэтому приходим к довольно естественному выводу, что стандартное отклонение является функцией от математического ожидания.

Указанные сложности можно разрешить, работая не с обычными, а с обобщенными линейными моделями. Обобщение производится в двух направлениях.

Во-первых, распределение зависимой переменной может быть негауссовским и необязательно непрерывным.

Вводится предположение о принадлежности переменной отклика экспоненциальному семейству распределений – широкому классу распределений, включающему в себя нормальное распределение, распределение Пуассона, гамма-распределение, обратное Гауссовское, биномиальное, экспоненциальное и другие распределения.

Дисперсия переменной, принадлежащей экспоненциальному классу распределений, является функцией своего среднего. Последнее утверждение можно подчеркнуть, записав:

 , где V(x), называемая функцией дисперсии, определена для каждого распределения.

Параметр задает дисперсию, а - постоянная, приписывающая вес или доверие к наблюдению i.

Во-вторых, ожидаемые значения отклика представляют собой линейную комбинацию предикторов, которые связаны с зависимой переменной через функцию связи: .

Каждому из распределений соответствует естественная функция связи, называемая канонической. Например, для распределения Пуассона функция связи является логарифмической, для гамма-распределения функция связи выполняет обращение со сменой знака, для нормального распределения функция связи является тождественной.

Процедура построения ОЛМ состоит в следующем:

На первом этапе необходимо определить матрицу X, создаваемую по значениям факторов, и вектор параметров β. Затем следует выбрать вид функции связи g и вид функции ошибки .

Получение значений параметров β, а затем предсказанных значений переменной отклика осуществляется путем максимизации логарифма функции правдоподобия. Такой подход направлен на поиск значений параметров, при которых выбранная модель принимает данные значения с наибольшей вероятностью.

Вопрос: В страховании используются, как правило, тысячи, если не миллионы наблюдений, поэтому поиск значений β осуществляется с помощью итеративных численных методов, реализованных во многих программных обеспечениях. Какие именно методы наиболее актуальны?

В.М.: Численные методы при построении ОЛМ направлены на оптимизирование функции правдоподобия путём поиска значений β, которые обнуляют первый дифференциал логарифма функции правдоподобия.

Существует некоторый набор стандартных методов, который может быть применен к этой задаче.

Например, метод Ньютона – Рафсона основан на формуле , где β_n есть n-ое итеративное приближение для вектора β (с p элементами), s - вектор первых производных от логарифма функции правдоподобия, а Н - - матрица вторых производных от логарифма функции правдоподобия. 

Итеративный процесс может быть запущен как с использованием нулевых значений, так и с учётом результатов однофакторного анализа или ранее построенных ОЛМ.

В некоторых коммерческих программах, предназначенных для прикладного статистического анализа, существует возможность построения ОЛМ с использованием данного метода.

Вопрос: Итак, модель построена. Каким образом можно проверить её точность и адекватность?

В.M.: Теория построения ОЛМ, помимо способов вычисления параметров, включает важную дополнительную информацию, указывающую на достоверность оценок этих параметров.

Например, многомерный вариант нижней оценки Крамера – Рао позволяет определить стандартную ошибку для каждого оцениваемого параметра. А именно, стандартные ошибки определяются как диагональные элементы матрицы Н^-1, где Н (гессиниан) есть матрица вторых производных логарифма функции правдоподобия.

В дополнение к оцениванию стандартных ошибок о качестве модели и способах её улучшения позволяют судить остатки – разности между наблюдаемыми и предсказанными согласно модели значениями.

Вопрос: Каким образом можно улучшить модель?

В.M.: Одним из ключевых моментов является выбор объясняющих факторов, которые будут включены в модель. Качество ОЛМ можно улучшить, включив факторы, которые систематически влияют на зависимую переменную и исключив факторы, которые не оказывают систематического влияния.

В анализе ОЛМ критерием качества модели выбирают функцию лог-правдоподобия. Известно, что если в качестве нулевой выдвигается гипотеза, что усложнение модели не приводит к ее улучшению, то приращение функции правдоподобия, умноженное на 2 и деленное на параметр , приближенно имеет распределение с количеством степеней свободы, равным количеству параметров, которые необходимо дополнительно оценивать.

На этом основании можно рассмотреть цепочку усложняющихся моделей и судить, какое именно усложнение приводит к существенному улучшению качества модели.

На качество модели также оказывает влияние выбор весового параметра . Априорные веса позволяют включать в модель информацию о степени доверия к каждому наблюдению.

Например, использование априорных весов может оказаться полезным при моделировании частот требований, если одни наблюдения относятся к месячному риску, а другие – к годовому.

В данных о рисках за более длительные периоды содержится больше информации и меньше изменчивости, и этот факт можно учесть в модели, задав  для каждого наблюдения. Наблюдения с большими весами имеют меньшую дисперсию, и, следовательно, модель будет больше подвержена влиянию именно этих наблюдений.

В некоторых ситуациях известен эффект объясняемой переменной. Использование при построении модели информации об этой переменной может существенно улучшить качество подгонки. Такой подход реализуется при помощи введения «параметра сдвига» в формулу для определения линейного предиктора : .

Основным примером использования параметра сдвига является построение ОЛМ для моделирования количества или размеров требований (но не частот требований). Требования могут относиться к различным периодам времени. Для наблюдения, относящегося к месячному периоду, очевидно, должно быть указано меньшее количество страховых случаев, чем для наблюдения, относящего к годовому риску (при условии равенства остальных факторов).

Вопрос: Спектр задач, для которых построение ОЛМ дает наиболее адекватную оценку действительности, очень широк. В каких актуарных задачах применение ОЛМ наиболее эффективно?

В.M.: Многие актуарные проблемы можно разрешить с использованием некоторых обобщенных линейных моделей, таких как ANOVA, пуассоновская регрессионная модель, а также логит-модель и пробит-модель.

Важной задачей для актуария является предсказание суммарного размера произошедших, но не заявленных убытков (ПНЗУ).

Поясню данный термин. Возмещение ущерба по страховому случаю, наступившему в некотором году, часто не удается завершить в том же году. Поэтому возникает необходимость формирования резервов для возмещения убытков, факт возникновения которых известен, а окончательный размер в момент формирования резервов – нет. Подобные убытки и называются ПНЗУ.

Основные методы оценивания этой величины основаны на так называемых треугольниках исчерпания, в которых суммарные убытки сгруппированы по году наступления страхового случая и годам выплат:

Числа, стоящие на диагоналях, соответствуют выплатам в конкретные календарные годы.

Задача актуария состоит в прогнозировании по данным таблицы размеров выплат, которые предстоят в течение будущих лет.

Таким образом, необходимо дополнить треугольник до квадрата, а иногда и продолжить его до прямоугольника. Сумма всех чисел в правой нижней части таблицы равна суммарному размеру возмещения, выплаченному за счет премий. Эта сумма и представляет собой необходимый размер резерва.

Для построения хорошего прогноза будущих выплат необходимо получить по возможности точную картину случайного механизма, порождающего выплаты, а также протестировать полученную модель и получить оптимальные оценки ее параметров. Весьма важно выявить связь дисперсии выплат с их средним значением.

Наиболее общим методом заполнения треугольника исчерпания является построение ОЛМ, частные случаи которой приводят к известным методам оценки ПНЗУ, таким, как метод цепной лестницы, метод арифметического и геометрического разделения.

Вопрос: Из всего сказанного очевидна необходимость применения обобщенных линейных моделей в практике страхования.

В.M.: Да, это так. Современный актуарий должен быть аналитически оснащен, уметь использовать современные программы и строить адекватные статистические модели в конкретной ситуации на основе реальных данных. Благодаря компьютерным технологиям, ОЛМ широко признаны страховыми компаниями Европы и быстро завоевывают признание профессионалов в США и Канаде.

Борисова Мария

По вопросам приобретения книги обращайтесь malinov@orc.ru

См. также:

Курсы StatSoft: Обобщенные линейные модели для актуариев