Актуарный калькулятор

Содержание

Введение

Возможности калькулятора

Требования к семействам распределений

Доступные семейства распределений

Параметры распределений

Теоретические сведения

Этапы построения модели

Технический страховой риск

Проблема агрегированных данных

Индивидуальная модель

Моделирование распределения убытка совокупного портфеля

Коллективная модель 

Основная задача коллективной модели и этапы её решения

Оценки параметров распределения

I) Метод моментов

II) Метод максимума правдоподобия (МП)

III) Метод минимума хи-квадрат

IV) Метод наименьших квадратов (МНК)

Моделирование числа убытков

Моделирование распределения совокупного убытка

Получение функции распределения совокупного убытка

Описание элементов калькулятора

Литература

 


Введение

Актуарный калькулятор моделирования убытков предназначен для проведения вычислений и построения графиков функций для шести моделей распределения убытка. Как показывает практика, этих моделей вполне достаточно для описания размера убытка в отдельном страховом случае (см. Томас Мак Математика рискового страхования).

Рис. 1

Рис. 1

Возможные распределения представлены в левой части окна.

Актуарный калькулятор является очень полезным инструментом для моделирования размера убытка и для проведения вычислений, требующих информации о распределении убытков

 


Возможности калькулятора

Калькулятор может производить следующие виды вычислений:

Рис. 2

Рис. 2

Читать пример применения Актуарного калькулятора

 


Требования к семействам распределений

Корректность моделирования размера убытка в отдельном страховом случае зачастую зависит от правильности выбора подходящего распределения.

Перечислим типичные требования к семействам распределений.

1) Модель должна адекватно описывать совокупное распределение. Отсюда, в частности, следует, что распределение не должно допускать отрицательных размеров убытка.

2) Модель не должна быть «слишком сложной»; желательно, чтобы она содержала небольшое число параметров.

3) Модель должна соответствовать структуре убытков.

Как показывает практика, структуры убытков во всех видах страхования очень схожи. Очень часто наблюдается много мелких убытков и мало крупных. Другим словами, «концентрация убытков» с увеличением размера убытка всё сильнее уменьшается. Эта зависимость особенно отчётливо заметна в логарифмическом масштабе.

Рис. 3

Рис. 3

Сформулируем математически указанное требование по отношению к функции плотности f(x).

Обозначим

Формула для x.

Тогда:

А) функция g(x) должна принимать значения не меньше, чем 1 и не больше, чем 3. 

Б) уклон g(x) возрастает намного медленнее, чем x, то есть для любых значений x1 и x2 (пусть x2>x1) должно быть справедливо неравенство Формула (иногда в этом неравенстве требуется, чтобы левая часть была намного меньше правой). 

4) целесообразным требованием к семействам распределений, пригодных для моделирования размера убытка, является также следующее: вместе с распределением F(x) семейство должно содержать все распределения вида F(x/b), для любого b>0. Такое условие удобно тем, что при изменении денежной единицы меняется только скалярный параметр, а параметр формы и вид плотности распределения сохраняются. 

«Привычные» семейства распределений не удовлетворяют поставленным условиям.

Для примера рассмотрим нормальное распределение.

Формула

Очевидно, что оно не удовлетворяет уже первому требованию.

Можно изменить распределение: отсечь область определения левее нуля. Тогда распределение станет правоасимметричным и уже не будет допускать отрицательных размеров убытка.

Но такое распределение всё равно не подойдёт - оно не будет удовлетворять третьему условию.

Действительно, рассмотрим логарифм от функции плотности и вычислим функцию g(x). 

Формула

В интересующей нас области x1>x2>µ выполнено следующее свойство:

Формула

противоречащее требованию 2Б.

 


Доступные семейства распределений

С помощью актуарного калькулятора можно производить вычисления с шестью допустимыми моделями распределения убытка. Перечислим эти модели.

Будем использовать стандартные обозначения: F(x) - функция распределения, f(x) - плотность распределения, E(Xk) - k-ый момент. На приведенных ниже графиках плотностей проведены пунктирные прямые – это прямые x=x1/2, где x1/2 - ½-квантиль. 

1) Логнормальное распределение (параметр формы σ, скалярный параметр b=eµ )

Формула

Рис. 4

Рис. 4

2) Логарифмированное логистическое распределение (параметр формы a, скалярный параметр b)

Формула

Рис. 5

Рис. 5

3) Логарифмированное распределение Лапласа (параметр формы a, скалярный параметр b)

Формула

Рис. 6

Рис. 6

4) Распределение Парето (параметр формы a, скалярный параметр b)

Формула

Рис. 7

Рис. 7

5) Распределение Парето с нулевой точкой (параметр формы a, скалярный параметр b)

Формула

Рис. 8

Рис. 8

6) Распределение Вейбулла (параметр формы a, скалярный параметр b)

Формула

Рис. 9

Рис. 9

 


Параметры распределений

Все семейства распределений, реализованные в Актуарном Калькуляторе, являются двухпараметрическими. Как показывает опыт, распределения с более чем двумя параметрами (допустим, гамма и обобщённое бета распределения, включающие некоторые из рассмотренных распределений как частный или граничный случай), не позволяют достичь значимо лучшего соответствия эмпирическим данным.

Каждое из предложенных распределений имеет два параметра: Параметр формы и Скалярный параметр. Параметры могут принимать только положительные значения, и по умолчанию равны 1.

Сделаем несколько замечаний относительно скалярного параметра.

1) Легко видеть, что все шесть семейств распределений удовлетворяют четвёртому требованию, предъявленному к семействам распределений. Это требование крайне важно на практике. 

2) Для записи характеристик логнормального распределения часто используется не сам скалярный параметр, а логарифм от него. Иногда это позволяет упростить записи выражений. 

3) Функция плотности распределения Лапласа меняет характер монотонности в точке с абсциссой, равной скалярному параметру(кроме распределений с параметром формы, меньшим 1).

4) Функция распределения Парето равна нулю при всех x, меньших скалярного параметра.

в начало

 


Теоретические сведения

Этапы построения модели

Нашей целью является нахождение самой подходящей или, по крайней мере, просто подходящей, модели. Подходящей признаётся модель, наиболее точно отражающая существенные для задачи аспекты реальности и в то же время позволяющая достаточно просто найти решение.

Построение модели проходит в 5 этапов:

1) Выбор модели. Этот этап имеет решающее значение. 

2) Оценка параметров. Как правило, процесс оценивания заключается в технических выкладках.

3) Проверка соответствия модели данным. Проверка осуществляется с помощью критерия согласия. 

4) Получение ответа на вопрос.

5) Утверждение ответа. Необходимо убедиться в приемлемости ответа и проверить чувствительность (влияние выбросов и т.д.). На этом этапе может возникнуть необходимость в прохождении всех циклов заново.

Технический страховой риск

Насколько бы удачной не была построенная модель, возникают три «нестыковки» практики с теорией:

1) Риск случайности. Даже если все распределения известны, мы не можем указать точное значение убытка; другими словами, размер убытка является недетерминированной величиной.

2) Риск оценки (другие названия – риск прогноза, риск изменчивости). Математическое ожидание и другие параметры совокупного убытка не известны ни для одиночного риска, ни для портфеля; они оцениваются на основе статистики. Полученные оценки в той или иной мере всегда отличаются от истинного значения.

3) Риск прогноза (другое название – риск изменчивости). Премия (цена риска) устанавливается заранее, при этом никаких дополнительных платежей не предусматривается. Возможность точного диагностирования случайной закономерности прошлого не исключает (всегда существующей в реальности) угрозы по крайней мере частичного изменения этой закономерности в ближайшем будущем (например, по причине инфляции).

Перечисленные риски имеют место даже в идеальной ситуации (когда риски независимые одинаково распределённые).

Три источника неопределённости (риск случайности, риск оценки и риск изменчивости) могут быть только мысленно отделены друг от друга; они всегда существуют совместно и в совокупности называются техническим страховым риском.

Проблема агрегированных данных

При моделировании актуарии часто сталкиваются с проблемой агрегированных данных. Дело в том, что зачастую доступными являются только суммарные годовые показатели по группам рисков (число рисков, их совокупная страховая сумма, а также число и суммарный размер убытков), а информация о страховой сумме каждого риска и размере страхового убытка отсутствует.

Так как объёмы группы рисков каждый год меняются, то меняются и распределения совокупного убытка. Получается, что стандартный способ оценки параметров распределения – с помощью некоторой статистики от значений невозможен, так как в данной ситуации сводится к оцениванию параметров по одному наблюдению. Решить эту проблему позволяет нормирование убытка на соответствующий объём. Получаемые таким образом случайные величины («убыток на один полис - год» или «ставка убытка») при определенных условиях не меняют математического ожидания в течение ряда лет. 

Индивидуальная модель

Предпосылкой к использованию моделей этого типа является однородность групп рисков, то есть риски отдельных групп должны быть схожи во всём за исключением страховых сумм. Это обременительное условие, которое редко выполняется на практике. 

При выполнении указанного условия, распределение совокупного годового убытка группы рисков можно вычислить как свёртку распределений годовых убытков отдельных рисков.

Для простоты вычисления свёртки предпочтение отдаётся более «простым» распределениям; а именно, распределениям, обладающим следующими свойствами: 

1) функция плотности выписывается явно, а не задаётся при помощи интеграла; 

2) модель содержит небольшое число параметров. 

Наиболее часто используются гамма, обратное гауссовское и логнормальное распределения.

Напомним, что условие, лежащее в основе индивидуальной модели, является обременительным. В некотором смысле, такая модель не воспринимается всерьёз. Она используется лишь как составная часть других моделей. 

Основным предназначением индивидуальной модели является расчёт характеристик совокупного годового убытка группы рисков (математическое ожидание и дисперсия) с целью расчёта тарифов.

В дальнейшем мы не будем рассматривать индивидуальные модели.

Моделирование распределения убытка совокупного портфеля

Моделирование распределения убытка совокупного портфеля является одной из важнейших задач страховой компании. На основе модели совокупного убытка строится представление об уровне надёжности компании и требуемом капитале.

Следует отметить, что зачастую требуется знать не только математическое ожидание, но и сам вид функции распределения. Особенно важно знать хвост функции распределения, так как он непосредственно определяет уровень надёжности компании.

Таким образом, необходим метод, позволяющий с максимальной степенью точности моделировать совокупное распределение убытка произвольного неоднородного портфеля.

Сведение задачи к предыдущей (разбить портфель на много маленьких групп, для каждой группы вычислить распределение в соответствии с индивидуальной моделью, а затем свернуть полученные распределения) не позволит достоверно описать распределение из-за требования однородности в индивидуальной модели.

Поэтому необходим другой подход. Успешный путь был указан в начале XX века Филипом Лундбергом (Filip Lundberg) и продолжен его соотечественником Гаральдом Крамером (Harald Cramer). Построенная ими коллективная модель положила начало новой области в теории вероятностей – «коллективной теории риска». 

Коллективная модель

Вкратце суть подхода заключается в рассмотрении портфеля, как производителя убытков, не учитывая принадлежность убытков конкретным рискам. 

Распределение убытка строится на основе распределений убытков и размера убытков в одном страховом случае, при этом плоскость отдельных рисков не задействуется.

Очевидно, что при таком подходе происходит потеря информации. Однако следует отметить, что эта потеря информации не отражается на качестве результата, так как распределения коллективной модели (распределения числа убытков и размеров убытков) могут быть вычислены с очень высокой степенью точности.

Следует отметить, что при помощи коллективной модели можно решать важные практические задачи (получение представления о вероятности любого размера убытка, моделирование хвоста распределения совокупного убытка), в то время как индивидуальная модель полезна лишь как составная часть других моделей.

При использовании коллективной модели предполагается, что размеры убытков в отдельных страховых случаях:

1) независимы; 

2) одинаково распределены; 

3) не зависят от числа убытков в интересующем временном интервале. 

Основная задача коллективной модели и этапы её решения

Основной задачей коллективной модели является определение вероятности надёжности при заданном гарантийном (собственном) капитале или требуемый гарантийный капитал при заданной вероятности надёжности.

По сути, задача сводится к построению распределения совокупного убытка. При этом желательно вычислить распределение для следующего года.

Задача решается поэтапно.

Этап 1. Оценка параметров распределения убытков. Зачастую на этом этапе имеет смысл разбить портфель на несколько субпортфелей (например, по видам страхования).

Этап 2. Приведение наблюдаемых размеров убытков к ценам предстоящего года с учётом ожидаемой ставки инфляции.

Этап 3. Подгонка функции распределения совокупного убытка (по крайней мере в области больших убытков, где знание функции распределения особенно важно).

Этап 4. Вычисление моментов и самого распределения будущего совокупного убытка.

Мы рассмотрим все этапы, кроме второго (второй этап носит финансовый характер)

в начало

 


Оценки параметров распределения

Допустим, что данные представлены либо в сгруппированном виде (то есть для каждого интервала [ci, ci+1) размеров убытка указано количество принадлежащих ему убытков; обозначим это количество за Ai), либо в виде полной выборки X1,...,XN размеров отдельных убытков.

Опишем наиболее распространённые методы оценивания параметров.

I) Метод моментов

Параметры распределения вычисляются из условия равенства эмпирических моментов и соответствующих моментов модели распределения. Так как все модели, которые мы рассматриваем, являются двухпараметрическими, то нам необходимо получить два уравнения. Запишем условия на первые и вторые моменты.

А) Если данные представлены в виде полной выборки, то соответствующие уравнения записываются в виде: 

Формула

Б) Если данные представлены в агрегированной форме, то эмпирические моменты можно вычислить, вообще говоря, лишь приближённо.

Ситуация упрощается, если известен суммарный размер убытков - i-го интервала (обозначим его Si). Тогда первый эмпирический момент равен   Формула.

Если же такой информации нет, то необходимо оценить эмпирический центр тяжести убытков в i-oм интервале. Для этого в области больших и средних убытков подходит геометрическое среднее Формула, учитывающее асимметрию распределения, в отличие от арифметического среднего Формула.

Основными недостатками метода моментов являются:

1) проблема агрегированных данных (относительно вычисления второго момента следует отметить, что единого способа вообще не существует); 

2) размер эмпирического момента решающим образом зависит от присутствия в выборке отдельных крупных убытков. 

Единственным достоинством этого метода является простота вычислений (в случае полной выборки).

II) Метод максимума правдоподобия (МП)

Параметры распределения вычисляются из условия максимума функции правдоподобия.

А) В случае полной выборки максимизируется логарифм совместной плотности: 

Формула.

Б) В агрегированной форме наблюдения имеют мультиномиальное распределение, поэтому следует максимизировать функцию

Формула.

Достоинства метода:

1) оценки, полученные этим методом, обладают рядом полезных свойств (асимптотическая несмещённость, асимптотическая минимальность дисперсии); 

2) с помощью метода МП можно рассчитать асимптотическую дисперсию оценки; 

3) преобразование данных или параметров влечёт точно такое же преобразование оценки МП. Например, оценки параметров логнормального распределения непосредственно получаются из оценок нормального распределения. 

Метод МП имеет достаточно существенный недостаток. Продемонстрируем его на примере логнормального распределения. В случае полной выборки оценкой МП является: 

Формула.

На величину мелких и крупных убытков одинаковым образом влияют как мелкие, так и крупные убытки (они находятся в приблизительно равных количествах). Из-за этого в решающей области качество подгонки может оказаться не удовлетворительным.

III) Метод минимума хи-квадрат  

Параметры находятся из условия минимальности статистики

Формула

где Ai - наблюдаемые количества убытков, а Формула- ожидаемые.

Необходимо сделать ряд замечаний:

1) Если данные представлены в виде полной выборки, то необходимо их сгруппировать, что ведёт к потере части информации.

2) Минимум находится достаточно легко (например, с помощью электронной таблицы).

3) По теореме Карла Пирсона, статистика T имеет (асимптотическое) распределение хи-квадрат с I-3 степенями свободы. Большие значения T (например, большие правого 5%-квантиля) свидетельствуют против выбранной модели распределения. 

Возможность одновременно проверить качество подгонки модели является очевидным преимуществом метода по сравнению с другими методами.

4) Зачастую модель распределения подбирается только для некоторого подмножества области определения размера убытка (например, такая ситуация может возникнуть при необходимости описания убытков в определённом диапазоне значений). Тогда совокупное число всех убытков может восприниматься как дополнительный параметр. Условие равенства нулю производной приводит к оценке: 

Формула для N

где Формула, а суммирование ведётся только по интервалам рассматриваемого диапазона значений убытка.

IV) Метод наименьших квадратов (МНК)

Основа метода – минимизация расстояния между эмпирическими и теоретическими распределениями. При этом можно пользоваться как функциями, так и плотностями распределений, но в последнем случае легче подобрать удобный масштаб, и, следовательно, меру расстояния.

В случае агрегированных данных график зависимости логарифмированной эмпирической плотности Формула сравнивается с теоретической логарифмированной плотностью Логарифм  совокупного числа Формула наблюдений.

Оценки параметров находятся из условия минимальности суммы квадратов расстояний: 

Формула,

где в качестве zi в случае агрегированных данных могут быть взяты числа Формула

Следует отметить, что при расчёте минимума допускается заменить f(zi)(ci+1 - ci) на точное значение F(ci+1) - F(ci). Эта замена упростит вычисления и избавит от выбора значений zi.

Строго говоря, следует «взвесить» наблюдения, то есть умножать слагаемые на коэффициенты, пропорциональные Ai (так как i-ое слагаемое основывается на Ai наблюдениях). Но мы специально не производим взвешивания, чтобы достичь лучшего соответствия в области больших убытков, где Aобычно малы.

В заключении отметим, что метод, описанный выше, не является «стандартным» методом наименьших квадратов.

 


Моделирование числа убытков

Пусть выполнены следующие условия:

1) случайные величины числа убытков в двух непересекающихся интервалах рассматриваемого временного промежутка независимы; 

2) одновременно не могут произойти два и более убытка; 

3) убытки могут происходить в любые моменты времени. 

Тогда случайная величина, равная числу страховых событий, происходящих в определённом временном промежутке, имеет распределение Пуассона:

Формула

(смысл параметра θ: математическое ожидание и дисперсия равны θ).

Следует отметить, что мы не требуем однородности распределения убытков внутри рассматриваемого временного промежутка, поэтому допускаются различия частоты убытков днём и вечером, летом и зимой. 

Перечисленные условия на практике могут считаться выполненными как для портфеля, так и для отдельного риска, за исключением страхования имущества от стихийных бедствий.

Утверждения теоремы для отдельных и совокупных рисков гармонично сочетаются друг с другом, ведь сумма независимых распределённых по закону Пуассона случайных величин с параметрами θ1, ..., θn снова имеет распределение Пуассона с параметром θ = θ1, ..., θn.

Нельзя не отметить, что модель Пуассона плохо согласуется с практикой. Достаточно часто, при наблюдении за реальными портфелями в течение нескольких лет становится очевидна непригодность модели Пуассона с постоянным параметром θ.

В большинстве случаев выходом из ситуации является моделирование числа убытков Nj для портфеля, наблюдаемого в течение периода j (j=1..J), с помощью распределения Пуассона. При этом возможно моделирование ежегодно меняющегося внешнего воздействия, математически выраженного через независимые одинаково распределенные случайные величины Qj > 0 ( Qj называется качеством j-ого года).

Распределение величины Nj, получаемое при условии изменения качества года, называется смешанным распределением Пуассона.

Часто делается конкретное предположение о виде распределения Qj. Например, если величина Qимеет гамма-распределение с параметром формы a и математическим ожиданием, равным 1, то величина N будет иметь отрицательное биномиальное распределение с параметрами Формула pи α (ν - общий объём портфеля, θ - оценка для параметра распределения Пуассона):

Формула

Моделирование распределения совокупного убытка

При построении модели совокупного убытка удобно сделать некоторое предположение относительно размера убытка. А именно, размер убытка (а, значит, и любая функция от размера убытка – например, средний размер) не должен зависеть от количества произошедших убытков. Данное требование обусловлено использованием коллективной модели (см. предположения для коллективной модели). 

Это условие может нарушаться. Например, в период гололёда учащаются повреждения жестяного корпуса автомобиля, вследствие чего доля мелких убытков возрастает, а средний размер убытка снижается. Да и вообще, при наличии внешних факторов (конъюнктура, климатические условия) такие ситуации неизбежны, так как факторы оказывают влияние и на число, и на размер убытков.

Однако, при раздельном рассмотрении причин ущерба (например, в случае, когда разные причины ущерба страхуются разными полисами) независимость числа и размеров убытков почти всегда имеет место. Таким образом, коллективная модель почти всегда применима. 

Теперь, убедившись в выполнимости условия, приведём формулы для вычисления мат. ожидания и дисперсии распределения совокупного убытка.

Пусть N - число убытков заданного портфеля в интересующем временном промежутке (как правило, это один год), пусть X – случайная величина, имеющая такое же распределение, как и размеры убытков номер 1, 2, ..., N. 

Тогда: 

Формула

Приведённые формулы тривиально получаются из тождества Вальда. 

Получение функции распределения совокупного убытка

Получить распределение G совокупного убытка S из распределения величин N и X – достаточно сложная задача.

Однако следует отметить, что другого способа нахождения G не существует. Для прямой подгонки какой-либо модели почти всегда не хватает данных, так как каждый год даёт только одно наблюдение, а значения совокупного убытка далёких прошлых лет не актуальны.

Конечно, теоретически возможно получение распределения через свёртку:

Формула,

но практическое вычисление n-кратной свёртки возможно только в редких нереалистичных случаях (например, когда F имеет геометрическое распределение). 

Единственное ограничение на применение описанного ниже метода: требуется, чтобы распределение числа убытков задавалось рекурсивной формулой: 

Формула.

Ограничение не является обременительным, так как наиболее часто используемые распределения (Пуассона, отрицательное биномиальное) удовлетворяют указанному условию.

Итак, пусть указанное ограничение выполнено.

Предположим, что нам известны распределение F размера убытка X и распределение H числа убытков N. Процесс вычисления состоит из двух шагов.

Шаг 1. Сначала необходимо аппроксимировать функцию распределения F дискретным распределением F, носитель которого Xпринимает только значения k*h, k=0,1,2,...,K (h>0-выбранный нами шаг дискретизации; K – чётное число) с вероятностями fk(очевидно, что f0 + f1 + ... +fk = 1).

Дискретное распределение будем строить с помощью метода «local moment matching» («подгонка локальных моментов»).

Введём обозначения. Пусть: 

Формула

В указанных обозначениях запишем условия равенства частных (локальных) моментов.

Формула

Эту систему можно разрешить относительно величин ai , bi , ci

Формула

Тогда вероятности fk дискретизации равны следующим величинам: 

Формула

Для нахождения величин Ai , Bi ,Ci следует воспользоваться Актуарным Калькулятором. 

Далее вычислим ai , bi , ci по приведённым формулам, а затем и fi. При этом некоторые значения fi могут оказаться отрицательными. Следует отметить, что, как правило, это не влияет на дальнейший расчёт.

Если Fимеет вероятностную массу справа от точки Kh (например, если носитель распределения F принимает сколь угодно большие значения), то при проведении вычислений по указанным формулам, может возникнуть отрицательный экстремум вероятностного веса в точке (K-1)h.

В этом случае рекомендуется добавить одну точку z>Kh и распределить вероятность 1-F(Kh) следующим образом:

Формула

в точках 0, Kh иТочка соответственно, где

Формула.

Шаг 2. Для вычисления распределения совокупного убытка можно воспользоваться рекурсивной формулой Пейнджера:

Формула

в начало

 


Описание элементов калькулятора

Распределение. Выберете из списка требуемое распределение. 

Параметры распределения. В этой группе вы можете указать Параметр формы и Скалярный параметр (см. Параметры распределений). В случае, если Вы укажите неположительные значения или вообще некорректно зададите параметры, а затем нажмёте кнопку Вычислить, калькулятор сообщит Вам об ошибке. 

Параметры подсчёта. В этой группе Вы можете изменить одно из полей Значение или Вероятность. Если Вы введёте в поле Вероятность некоторое число p и нажмёте кнопку Вычислить, то будет найдена p-квантиль данного распределения. Если Вы измените поле Значение и нажмёте на кнопку Вычислить, то будет вычислена вероятность, соответствующая данному значению. 

Вычислить. При нажатии на эту кнопку будет произведён необходимый подсчёт и построены графики. 

Сброс. Нажатие на эту кнопку приведёт к очищению полей в группе Параметры подсчёта. 

Выход. Нажмите на эту кнопку для выхода из программы. 

График. Укажите эту опцию для построения графиков функции распределения и функции плотности в отдельных окнах. По окончании работы Калькулятора вероятностных распределений Вы можете вставить эти графики в рабочую книгу, а также сохранить или распечатать их. 

Лог. Преобразование. Укажите эту опцию для построения в отдельном окне графика функции, равной логарифму от функции распределения.

Функция распределения. В этом окне будет отображаться график функции распределения. 

Функция плотности. В этом окне будет отображаться график функции плотности. 

Локальные моменты. Эта группа кнопок предназначена для вычисления локальных моментов.

Левый и правый конец отрезков задаётся в полях группы Границы (a, b, соответственно), 

После нажатия кнопки Вычислить значения нулевого, первого и второго моментов появятся в полях группы Моменты.

в начало

См. также пример применения Актуарного калькулятора

 


Литература

1) Мак Т. Математика рискового страхования. М.: Олимп-бизнес, 2005.

2) Боровиков В.П. STATISTICA: искусство анализа данных на компьютере. СПб.: Питер, 2003.

‹‹
››
ПнВтСрЧтПтСбВс


info@statsoft.ru       (495) 787-77-33       (499) 674-06-15       STATISTICA Data Miner 13.2 Trial

Авторские права на дизайн и материалы сайта принадлежат компании StatSoft Russia.
Все права защищены.

© StatSoft Russia
1999-2017

StatSoft Russia – компания, зарегистрированная и действующая в соответствии с законами России, которые могут отличаться от законов других стран, имеющих офисы StatSoft. Каждый офис StatSoft является самостоятельным юридическим лицом, имеет право предлагать услуги и разрабатывать приложения, которые могут быть, а могут и не быть представлены в офисах StatSoft других стран.

Лицензионное соглашение      Карта сайта